J'ai une histoire singulière à vous raconter. Vers les années 1980, en bricolant sur la transformée de Laplace que j'enseignais à l'époque à l'I.U.T du Creusot, je trouvais une formule intégrale que je vous livre ici :

Dans le premier chapitre vous verrez en détail le cheminement qui me conduisit vers elle.
Je me souviens encore de cette émotion lorsqu'elle m'apparut, sentiment que seuls les mathématiciens ou les explorateurs doivent connaître en abordant des rivages nouveaux. Jusqu'à ce jour le ciel de la création était pour moi bien vide et il me semblait qu'enfin après un long parcours initiatique de rigueur, de travail sur les théories des maîtres prestigieux, il m'était permis d'emprunter pour la première fois un chemin inconnu de tous et d'atteindre une clairière merveilleuse.
Bien sûr c'était une formule bien modeste et je fus un peu déçu de voir qu'on pouvait la démontrer directement par la formule des résidus, mais le charme du chemin parcouru ne fut pas rompu. J'étais certain d'avoir trouvé quelque chose d'intéressant. Je continuais donc mes bricolages bien élémentaires et j'en tirais quelques expressions originales de la constante d'Euler et des nombres de Bernoulli.
Je montrais par exemple que
avec
Vingt ans après en consultant l'excellent site de J .C Sebah et Gourdon consacré aux constantes remarquables je m'aperçus que cette série avait été découverte il y a bien longtemps par le mathématicien Hollandais J.C Kluyver. Après deux ou trois mois (je ne me souviens plus trop) je tournais en rond, répétant les mêmes décompositions en série, les mêmes techniques de découpage, de changement de variable, d'intégration par parties !
Une saine lecture de ce qu'était la recherche sérieuse me ramena à la réalité, à ma famille et à mes chers élèves de Terminale. Je refermais mon cahier d'écolier et ici vient prendre place une longue parenthèse de vingt ans.
L'histoire rebondit au début décembre 2005. A l'occasion d'un voyage d'agrément à Barcelone, je fais la connaissance d'un professeur d'université spécialiste reconnu des approximants de Padé et extrêmement sympathique. Je connais un peu cette théorie, à vrai dire très peu. La base, quelques exemples classiques et c'est tout ! En fait nous avons parlé peu de Mathématiques, mais ce qui importe c'est que le courant passe bien entre nous pendant ce court séjour dans cette cité magnifique.
Ce voyage a été un peu un bain de Jouvence. De retour à la maison il me prend l'envie de rouvrir le cahier des souvenirs. La belle formule est toujours là, attendant patiemment.
Je reprend mes calculs, retrouve les démonstrations que je n'avais pas entièrement rédigées.
Mon idée fixe et terre à terre est d'obtenir de nouvelles expressions de la constante d'Euler.
Mais mon intérêt va d'un seul coup se déplacer. Une nouvelle fois, comme il y a vingt ans j'ai l'impression d'être guidé.
Ici je ne peux que donner des interrogations.
Pourquoi ai-je pensé d'un coup devant les arènes d'Arles, le 31 Décembre, à considérer les coefficients mentionnés plus haut comme les moments d'une mesure ?
Pourquoi un après midi de Janvier ai-je décidé de rechercher les polynômes orthogonaux pour cette mesure, alors que raisonnablement il n'y avait aucune chance de trouver les relations de récurrence ?
Comment ai-je abouti malgré tout à la détermination (d'abord expérimentale, grâce à M.A.P.L.E) de cette famille, et reconnu les polynômes secondaires de Legendre ?
Pourquoi après avoir vainement essayé d'obtenir la preuve directe de l'orthogonalité ai-je eu soudain l'intuition que la clef était dans les approximants de Padé de la transformée de Stieltjes de la mesure ?
Pourquoi ai-je eu rapidement l'intuition d'une isométrie importante, puis d'une deuxième encore plus intéressante ?
Tout ce que je sais c'est que dans la formule initiale, dans cette belle au bois dormant, il y avait la clef d'une vraie théorie que je décidais, les résultats s'accumulant d'appeler << théorie des mesures secondaires >>.
Le chemin que j'ai suivi et qui m'a mené bien plus loin qu'il y a vingt ans, je vous le livre dans les pages suivantes. Mais avant de commencer je demande votre indulgence.
Il se peut bien sûr que les résultats que je mentionne soient déjà connus et que d'autres aient abordés ces rives bien avant moi. Est-ce une simple application numérique de théorèmes généraux de la théorie spectrale ? Il me semble cependant que la trame est assez originale et conduit à des égalités explicites et non pas seulement théoriques ce qui fait que l'histoire mérite quand même d'être lue.
En vous remerciant de votre attention, j'espère que les pages à venir ne vous décevrons pas.